Calculo Diferencial

Números Reales.

Los números reales son el conjunto que incluye los números naturales, enteros, racionales e irracionales. Se representa con la letra ℜ.

La palabra real se usa para distinguir estos números del número imaginario i, que es igual a la raíz cuadrada de -1, o √-1. Esta expresión se usa para simplificar la interpretación matemática de efectos como los fenómenos eléctricos.

Propiedades de los números reales

1. La suma de dos números reales es cerrada, es decir, si a y b ∈ ℜ, entonces a+b ∈ ℜ.
2. La suma de dos números reales es conmutativa, entonces a+b=b+a.
3. La suma de números es asociativa, es decir, (a+b)+c= a+(b+c).
4. La suma de un número real y cero es el mismo número; a+0=a.
5. Para cada número real existe otro número real simétrico, tal que su suma es igual a 0: a+(-a)=0
6. La multiplicación de dos números reales es cerrado: si a y b ∈ ℜ, entonces a . b ∈ ℜ.
7. La multiplicación de dos números es conmutativa, entonces a . b= b. a.
8. El producto de números reales es asociativo: (a.b).c= a.(b .c)
9. En la multiplicación, el elemento neutro es el 1: entonces, a . 1= a.
10. Para cada número real a diferente de cero, existe otro número real llamado el inverso multiplicativo, tal que: a . a_-1 = 1.
11. Si a, b y c ∈ ℜ, entonces a(b+c)= (a . b) + (a . c)   

Intervalo

Un intervalo de números reales es el conjunto de números que se encuentran entre dos de dados; estos dos números pueden estar o no en dicho conjunto. Debe tenerse en cuenta que se trata de números reales y, por lo tanto, por ejemplo, el intervalo cerrado [-5,5] contiene todos los números reales entre el -5 y el 5, ambos incluidos. Así, estos números pertenecen a dicho intervalo:

−2√,−1,0,12,2√,1.8643,3,4.223⌢,5$-\sqrt{2},-1,0,\frac{1}{2},\sqrt{2},1.8643,3,4.2\stackrel{⌢}{23},5$

Los intervalos pueden ser cerrados o abiertos, según si incluyen (cerrados) o no (abiertos) sus extremos. Así,

• un intervalo abierto no incluye sus extremos; por ejemplo, (−2,3)$\left(-2,3\right)$ es un intervalo abierto, ya que -2 y 3 no pertenecen a este intervalo.
• un intervalo cerrado incluye sus extremos; por ejemplo, [−2,3]$\left[-2,3\right]$ es un intervalo cerrado, y -2 y 3 pertenecen a este intervalo.
• un intervalo abierto por un extremo no lo incluye, mientras que un intervalo cerrado por un extremo lo incluye. Por ejemplo, [−2,3)$[-2,3)$ es un intervalo abierto por la derecha, y cerrado por la izquierda, ya que 3 no pertenece al intervalo, mientras que -2 sí que pertenece.

Gráficamente, se pueden representar así estos intervalos (básicamente, poniendo un punto en el/los extremo/s en los que el intervalo sea cerrado):

Desigualdades

Las desigualdades son enunciados matemáticos que comparan dos cantidades que no son iguales (o posiblemente no iguales). Hay cinco símbolos de desigualdad:

x ≠ 3	x es diferente de 3
x < 3	x es menor que 3
x > 3	x es mayor que 3
x  3	x es menor que o igual a 3
x  3	x es mayor que o igual a 3

Graficando desigualdades con una variable

Las soluciones de desigualdades pueden ser graficadas en la recta númerica como rayas. Si la desigualdad es "estricta" (  o  ), usamos un punto abierto para indicar que el punto final de la raya no es parte de la solución. Para los otros tipos de desigualdades (  y  ), usamos un punto cerrado .

Ejemplo: